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已知函数f（x）=23sinx•cosx+cos2x-sin2x-1（x∈R） （Ⅰ）求函数y=f（x）的周期和递增区间； （Ⅱ）若x∈[-5π12，π3]，求f（x）的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 18:25:16
问题描述：

已知函数f（x）=2

3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的周期和递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-
5π
12
，
π
3
]，求f（x）的取值范围．

答

（1）由题设f（x）=2

3
sinx•cosx+cos2x-sin2x-1
=
3
sin2x+cos2x-1
=2sin(2x+
π
6
)−1，
则y=f（x）的最小正周期为：π．
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
（k∈z）得
kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈z，
∴y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]（k∈z），
（2）由x∈[-
5π
12
，
π
3
]，可得−
2π
3
≤2x+
π
6
≤
5π
6

考察函数y=sinx，易知−1≤sin(2x+
π
6
)≤1
于是−3≤2sin(2x+
π
6
)−1≤1．  
故y=f（x）的取值范围为：[-3，1]．

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