在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点． （1）求证：平面AD1E∥平面BGF； （2）求证：平面AEC⊥面AD1E．
问题描述：
在直四棱住ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．
（1）求证：平面AD1E∥平面BGF；
（2）求证：平面AEC⊥面AD1E．
答
证明：如图，
（1）∵E，F分别是棱BB1，DD1中点，∴BE∥D1F且BE=D1F，
四边形BED1F为平行四边形，∴D1E∥BF，
又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，∴BF∥平面AD1E；
又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1，
又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E；
又BF∩GF=F，
平面AD1E∥平面BGF；
（2）∵AA1=2，AD=1，∴AD1=
，
5
同理AE=
=
AB2+BE2
，D1E=BF=
2
=
BD2+DF2
，
3
∴AD12=D1E2+AE2，∴D1E⊥AE；
∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BD1，又D1E⊂平面BD1，∴AC⊥D1E，
又AC∩AE=A，AC⊂平面AEC，AE⊂平面AEC．所以D1E⊥平面AEC；
又D1E⊂平面AD1E，∴平面AEC⊥面AD1E．