已知三角形ABC中一点P,AB=AC,角APB=角APC,求证：PB=PC
问题描述：
已知三角形ABC中一点P,AB=AC,角APB=角APC,求证：PB=PC
答
证明：
∵AB=AC,AP=AP
要证PB=PC,关键要证明的是△APB≌△APC
此时应该利用的是边角边SAS的三角形判定定理,而非一楼的SSA,
∴需要证明的是∠PAB=∠PAC
∵∠APB=∠APC
∴此时关键是要证明∠ABP=∠ACP
开始正式证明
在△APB中,根据正弦定理,得
AP/sin∠ABP=AB/sin∠APB……①
在△APC中,根据正弦定理,得
AP/sin∠ACP=AC/sin∠APB……②
∵AB=AC
∴①式除以②式,得
sin∠ABP=sin∠ACP
∴∠ABP=∠ACP或∠ABP+∠ACP=180°
假设∠ABP+∠ACP=180°
∵P在△ABC内
∴此时△ABC的内角和=(∠ABP+∠ACP)+∠PBC+∠PCB+∠BAC=180°+∠PBC+∠PCB+∠BAC>180°
与三角形内角和定理矛盾
∴∠ABP=∠ACP
∴∠PAB=∠PAC
又∵PA=PA,AB=AC
∴根据SAS定理,得
△PAB≌△PAC
∴对应边PB=PC