如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC角平分线，且AF⊥EC． （1）求证：AC与⊙O相切； （2）若AC=6，BC=8，求EC的长．
问题描述：
如图，已知△ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为△ABC角平分线，且AF⊥EC．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC=6，BC=8，求EC的长．
答
（1）证明：如图，连接BE，
∵AF是∠BAC的角平分线，AF⊥EC，
∴∠ACH=∠AHC．
∵∠BHE=∠AHC，
∴∠ACH=∠BHE．
∵E是
的中点，BD
∴∠EBD=∠BCE．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°．（ 3分）
∴∠EBH+∠BHE=90°．
∴∠BCE+∠ACE=90°．
∴AC是⊙O的切线．（4分）
（2）在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，
∴AB=10．
又∵∠ACH=∠AHC，
∴AH=AC=6．
∴BH=AB-AH=10-6=4．（6分）
∵∠EBH=∠ECB，
∴△EBH∽△ECB．
∴
=EB EC
=HB BC
．1 2
在Rt△EBC中，
∵EC=2EB，BC=8，
∵EC2+EB2=BC2
∴EC=
．16
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