设A与B都是n阶方阵.证明:如果AB=O,那么 秩A+秩B≤n.

n阶矩阵乘积的秩有不等式
r(AB) ≥ r(A)+r(B)-n
AB = 0, 即有r(AB) = 0, 代入即得.
还有一种想法, B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.
于是AX = 0解空间的维数n-r(A)应该 ≥ B的列秩r(B).
于是r(A)+r(B) ≤ n.r(A)表示A的秩. 如果学过不等式r(A)+r(B)-n ≤ r(AB)就直接写∵AB = 0,∴r(A)+r(B)-n ≤ r(AB) = 0,∴r(A)+r(B) ≤ n.如果没学过, 就用下面的方法:∵AB = 0,∴B的列向量都是线性方程组AX = 0的解.而AX = 0的基础解系有n-r(A)个向量, B的列向量被它们线性表出.∴r(B) ≤ n-r(A),∴r(A)+r(B) ≤ n.