请教二元函数可微,但一阶偏导不连续的例子
问题描述：
请教二元函数可微,但一阶偏导不连续的例子
假设f(x,y)在(x.,y.)可微,但f(x,y)的两个一阶偏导数在(x.,y.)却不一定连续.
哪位达人能举一个例子,或说明这种情况发生时的几何解释?
很好的例子.通过分析例子我也得到一些启示:
可微表示该点附近曲面是平滑的,而平滑就表示这一点附近偏导(或方向导数)是渐变的,即连续的.
但我们又想让该点的偏导不连续,在不考虑无穷导数时,只能是例子中振荡的情况.振荡是一种极限情况,它是间断的,但我们也可以认为它连续.这就像是无穷大没有意义,但我们也可以认为它是有意义的"数".当函数具有这种"连续"的极限情况--振荡型的偏导时,我们就得到了可微但偏导不连续的曲面.
答
f(x,y)=x^2*sin(1/x)+y^2*sin(1/y)
(如果x->0,第一项会变为0,如果y->0,第二项会变为0,因此当遇到x,y等于0时,取极限即可,下同)
求(0,0)处的微分
f(Δx,Δy)-f(0,0)
=Δx^2*sin(1/Δx)+Δy^2*sin(1/Δy)
=Δx*sin(1/Δx)*dx+Δy*sin(1/Δy)*dy
(Δx,Δy)->(0,0)取极限知df|(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)可微.
而f的偏导数,分别记为fx,fy
fx(x,y)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) (x不等于0时)
上式在x->0时没有极限
但fx(0,0)=0...(这是由df|(0,0)=0求得)
因此fx(x,y)在(0,0)处是不连续的,同理fy(x,y)在(0,0)处也是不连续的.