已知:α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.求证:α+2β=π2.

问题描述:

已知:α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.求证:α+2β=

π
2

由3sin2α+2sin2β=1,得:3sin2α=cos2β.
由3sin2α−2sin2β=0,得:sin2β=

3
2
sin2α=3sinαcosα.
∴sin22β+cos22β=9sin2αcos2α+9sin4α
∴9sin2α=1.
∴sinα=
1
3
(α为锐角)
∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα(3sin2α)+cosα(3sinαcosα)
=3sinα(sin2α+cos2α)=3sinα=1
α+2β=
π
2