如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA,AE=CD,AD与BE交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.

问题描述:

如图,在△ABC中,已知AB=BC=CA,AE=CD,AD与BE交于点P,BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.

证明:∵AB=BC=CA,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中

AB=AC
∠BAC=∠C
AE=DC

∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BPQ=∠ABE+∠BAP,
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠CAB=60°,
∵BQ⊥AD
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ.