如图所示，在△ABC中，求证： （1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD：S△ACD=AB：AC； （2）设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD=AB：AC，则AD为∠BAC的平分线．
问题描述：
如图所示，在△ABC中，求证：
（1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD：S△ACD=AB：AC；
（2）设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD=AB：AC，则AD为∠BAC的平分线．
答
（1）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E，
则∠E=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠E=∠CAD，
∴AC=CE，
∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴
=BD CD
，AB CE
∴
=BD CD
，AB AC
∴S△ABD：S△ACD=（
×BD×AH）：（1 2
×CD×AH）=BD：CD=AB：AC；1 2
（2）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E
∵S△ABD：S△ACD=（
×BD×AH）：（1 2
×CD×AH）=BD：CD=AB：AC，1 2
又∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴
=BD CD
，AB CE
∴
=AB CE
，AB AC
∴CE=AC，
∴∠E=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．