如图所示,在△ABC中,求证: (1)若AD为∠BAC的平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC; (2)设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线.

问题描述:

如图所示,在△ABC中,求证:

(1)若AD为∠BAC的平分线,则S△ABD:S△ACD=AB:AC;
(2)设D为BC上的一点,连接AD,若S△ABD:S△ACD=AB:AC,则AD为∠BAC的平分线.

(1)证明:过A作AH⊥BC于H,过C作CE∥AB交AD延长线于E,
则∠E=∠BAD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴∠E=∠CAD,
∴AC=CE,
∵CE∥AB,
∴△ECD∽△ABD,

BD
CD
=
AB
CE

BD
CD
=
AB
AC

∴S△ABD:S△ACD=(
1
2
×BD×AH):(
1
2
×CD×AH)=BD:CD=AB:AC;
(2)证明:过A作AH⊥BC于H,过C作CE∥AB交AD延长线于E
∵S△ABD:S△ACD=(
1
2
×BD×AH):(
1
2
×CD×AH)=BD:CD=AB:AC,
又∵CE∥AB,
∴△ECD∽△ABD,
BD
CD
=
AB
CE

AB
CE
=
AB
AC

∴CE=AC,
∴∠E=∠CAD,
∵CE∥AB,
∴∠E=∠BAD,
∴∠BAD=∠CAD,
∴AD平分∠BAC.