已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0． （1）求证：b+c=-1； （2）求证：c≥3； （3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．
问题描述：
已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
（1）求证：b+c=-1；
（2）求证：c≥3；
（3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．
答
（1）证明：∵|sinα|≤1且f（sinα）≥0恒成立，可得f（1）≥0．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立，可得f（1）≤0，
∴f（1）=0，
∴1+b+c=0，∴b+c=-1．
（2）证明：∵b+c=-1，∴b=-1-c，
∴f（x）=x2-（1+c）x+c=（x-1）（x-c）．
又∵1≤2+cosβ≤3且f（2+cosβ）≤0恒成立
∴x-c≤0，即c≥x恒成立．
∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin2α-（1+c）sinα+c=（sinα-
）2+c-（1+c 2
）2，1+c 2
∵
≥21+c 2
∴当sinα=-1时，f（sinα）的最大值为1-b+c．
由1-b+c=8与b+c=-1联立，
可得b=-4，c=3．
即b=-4，c=3．