f(ab)=af(b)+bf(a);求f(2的负n次方)的解析式大神们帮帮忙
问题描述：
f(ab)=af(b)+bf(a);求f(2的负n次方)的解析式大神们帮帮忙
答
设U(n)=f[2^(-n)]/2^(-n) ∴U(n+1)-U(n)=f[2^(-n-1)]/2^(-n-1)-f[2^(-n)]/2^(-n)={2f[2^(-n-1)]-f[2^(-n)]}/2^(-n) ∵f[2^(-n-1)]=1/2*f[2^(-n)]+2^(-n)*f(1/2) ∴{2f[2^(-n-1)]-f[2^(-n)]}/2^(-n)=2*f(1/2) 即U(n+1)-U(n)=2*f(1/2)为常数 所以数列{U(n)}是等差数列 U(1)=2f(1/2) ∴U(n)=2nf(1/2)=f[2^(-n)]/2^(-n) ∴f[2^(-n)]=2^(-n)*2nf(1/2)