如图所示等腰梯形ABCD中,AD=BC,AB∥CD,对角线AC与BD交于O,∵∠ACD=60°,点S、P、Q分别是OD,OA,BC的中点. 求证:△PQS是等边三角形.

问题描述:

如图所示等腰梯形ABCD中,AD=BC,AB∥CD,对角线AC与BD交于O,∵∠ACD=60°,点S、P、Q分别是OD,OA,BC的中点.
求证:△PQS是等边三角形.

证明:连CS,BP,

∵四边形ABCD是等腰梯形,且AC与BD相交于O,
∴AC=BD,
在△CAB和△DBA中,

CA=DB
AB=AB
BC=AD

∴△CAB≌△DBA(SSS),
∴∠CAB=∠DBA,
同理可得出:∠ACD=∠BDC,
∴AO=BO,CO=DO,
∵∠ACD=60°,
∴△OCD与△OAB均为等边三角形.
∵S是OD的中点,
∴CS⊥DO,
在Rt△BSC中,Q为BC中点,SQ是斜边BC的中线,
∴SQ=
1
2
BC,
同理BP⊥AC,
在Rt△BPC中,PQ=
1
2
BC,
又∵SP是△OAD的中位线,
∴SP=
1
2
AD=
1
2
BC.
∴SP=PQ=SQ.
故△SPQ为等边三角形.