如图,在45°的Rt△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD是∠ABC的平分线,求证:△DEC的周长等于BC.

问题描述:

如图,在45°的Rt△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD是∠ABC的平分线,求证:△DEC的周长等于BC.

证明:∵∠A=90°,DE⊥BC且BD是∠ABC的平分线
∴AD=ED(角平分线线上的点到角两边的距离相等)
在Rt△ABD和Rt△EBD中,

BD=BD
AD=ED

∴Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)
∴AB=EB(全等三角形的对应边相等)
∵DEC的周长=DE+DC+EC=AC+EC
∵△ABD是45°的直角三角形
∴AB=AC=EB
∴DEC的周长=EB+EC=BC.