已知△ABC中，sinA(sinB+3cosB)=3sinC．（I）求角A的大小；（II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．
问题描述：
已知△ABC中，sinA(sinB+
cosB)=
3
sinC．
3
（I）求角A的大小；
（II）若BC=3，求△ABC周长的取值范围．
答
（I）A+B+C=π
得sinC=sin（A+B）代入已知条件得sinAsinB=
cosAsinB
3
∵sinB≠0，由此得tanA=
，A=
3
π 3
（II）由上可知：B+C=
，∴C=2π 3
-B2π 3
由正弦定理得：AB+AC=2R(sinB+sinC)=2
(sinB+sin(
3
-B))2π 3
即得：AB+AC=2
(
3
sinB+3 2
cosB)=6sin(B+
3
2
)π 6
∵0＜B＜
得2π 3
＜sin(B+1 2
)≤1π 6
∴3＜AB+AC≤6，
∴△ABC周长的取值范围为（6，9]
答案解析：（I）把sinC=sin（A+B）代入题设等式，利用两角和公式展开后整理求得tanA的值，进而求得A．
（II）利用正弦定理可知AB+AC=2R（sinB+sinC），利用两角和公式化简整理，利用B的范围和正弦函数的单调性求得周长的范围．
考试点：三角函数的化简求值；正弦定理的应用．
知识点：本题主要考查了三角函数的化简求值，正弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的整体把握和理解．