如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.

问题描述:

如图,已知∠BAC在平面α内,P∉α,∠PAB=∠PAC,求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.

证明:作PO⊥α,PE⊥AB,PF⊥AC,
垂足分别为O,E,F,连接OE,OF,OA,

PE⊥AB,PF⊥AC
∠PAE=∠PAF
PA=PA
⇒Rt△PAE≌Rt△PAF⇒AE=AF,
PO⊥α
AB⊂α
⇒AB⊥PO

又∵AB⊥PE,PO∩PE=P,
∴AB⊥平面PEO,
∴AB⊥OE,同理AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF,AE=AF,OA=OA,
∴Rt△AOE≌Rt△AOF,∴∠EAO=∠FAO,
即点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.