设一曲线过原点且在该曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为x3,则该曲线方程为_.

问题描述:

设一曲线过原点且在该曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为x3,则该曲线方程为______.

曲线上任意一点(x,y)处的切线斜率为x3,即

dy
dx
x3
对上述微分方程积分可得:y=∫
dy
dx
dx=∫x3dx=
1
4
x4+C
,C为任意常数.
因为曲线经过原点,所以,将原点坐标(0,0)代入上述方程可得:C=0
所以,曲线方程为y=
1
4
x4