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如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点． （1）求证：EF+GH=5cm； （2）求当∠APD=90°时，EF/GH的值．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 15:48:42
问题描述：

如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点．
（1）求证：EF+GH=5cm；
（2）求当∠APD=90°时，

EF
GH
的值．

答

（1）证明：∵矩形ABCD，AD=10cm，
∴BC=AD=10cm．
∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点，
∴EF+GH=

1
2
BP+
1
2
PC=
1
2
BC．
∴EF+GH=5cm．
（2）∵矩形ABCD，
∴∠B=∠C=90°，
又∵∠APD=90°，
在直角△APD中，AD2=AP2+DP2，
同理，AP2=AB2+BP2，PD2=PC2+CD2=PC2+AB2，
∴AD2=AP2+DP2=AB2+BP2+PC2+DC2=BP2+（BC-BP）2+2AB2=BP2+（10-BP）2+32，
即100=2BP2-20BP+100+32，
解得BP=2或8（cm），
当BP=2时，PC=8，EF=1，GH=4，这时
EF
GH
＝
1
4
，
当BP=8时，PC=2，EF=4，GH=1，这时
EF
GH
＝4，
∴
EF
GH
的值为
1
4
或4．

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