已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点（1,f（1））处切线方程为x+2y-3=0

已知函数f(x)=alnx/(x+1) + b/x ,曲线y=f(x)在点（1,f（1））处切线方程为x+2y-3=0
如果当x＞0,且x≠1时,f(x)＞lnx/(x-1) + k/x ,求k的取值范围.
老师给的正确答案是:
由题意f（1）=1,即切点坐标是（1,1）
f′(x)=a(x+1/x -lnx)/(x+1)^-b/x^
由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2 ,且过点（1,1）,故 f(1)=1 f′(1)=-1/2
即b=1 a /2 -b=-1/ 2 解得a=1,b=1
求得f(x)=lnx /x+1 +1/ x ,所以
f(x)-(lnx/x-1+k/ x )=1 /1-x2 (2lnx+(k-1)(x2-1)/x）
考虑函数h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1) /x （x＞0）,则
h′(x)=(k-1)(x2+1)+2x /x2
（i）设k≤0,由h′(x)=k(x2+1)- (x-1)2 /x^知,当x≠1时,h′（x）＜0．而h（1）=0,故
当x∈（0,1）时,h′（x）＜0,可得1 /1-x2 h(x)＞0；
当x∈（1,+∞）时,h′（x）＜0,可得1 /1-x2 h（x）＞0
从而当x＞0,且x≠1时,f（x）-（lnx/ x-1 +k /x ）＞0,即f（x）＞lnx/ x-1 +k /x ．
（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1,1 /1-k ）时,（k-1）（x2+1）+2x＞0,故h′（x）＞0,而
h（1）=0,故当x∈（1,1 /1-k ）时,h（x）＞0,可得1 /1-x^ h（x）＜0,与题设矛盾．
（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0,而h（1）=0,故当x∈（1,+∞）时,h（x）＞0,可得1 /1-x^ h（x）＜0,与题设矛盾．
综合得,k的取值范围为（-∞,0]
我的疑问是：
为什么k要分这三类呢?还有写x的区间的时候,1 /1-k 怎么来的?