已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,当n∈N*时,f(n)∈N*,若f[f(n)]=3n,则f(5)的值等于_.
问题描述:
已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,当n∈N*时,f(n)∈N*,若f[f(n)]=3n,则f(5)的值等于______.
答
若f(1)=1,则f(f(1))=f(1)=1,与条件f(f(n))=3n矛盾,故不成立;
若f(1)=3,则f(f(1))=f(3)=3,进而f(f(3))=f(3)=9,与前式矛盾,故不成立;
若f(1)=n(n>3),则f(f(1))=f(n)=3,与f(x)单调递增矛盾.
所以只剩f(1)=2.验证之:
f(f(1))=f(2)=3,
进而f(f(2))=f(3)=6,
进而f(f(3))=f(6)=9,
由单调性,f(4)=7,f(5)=8,
故答案为:8.