在三角形ABC中,若(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),则三角形是?
问题描述：
在三角形ABC中,若(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),则三角形是?
a/sinA=b/sinB=k
则a=ksinA,b=ksinB
代入(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sinC并把k约分
(sin²A+sin²B)sin(A-B)=(sin²A-sin²B)sin(A+B)
sin²A*[sin(A+B)-sin(A-B)]=sin²B*[sin(A-B)+sin(A+B)]
sin²A*2cosAsinB=sin²B*2sinAcosB
sin²A*2cosAsinB-sin²B*2sinAcosB=0
sinAsinB(2sinAcosA-2sinBcosB)=0
sinAsinB(sin2A-sin2B)=0
sinA>0,sinB>0
所以sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180度
A=B或A+B=90度
所以是等腰三角形或直角三角形
其中sin²A*[sin(A+B)-sin(A-B)]=sin²B*[sin(A-B)+sin(A+B)]
这一步如何得出的?
答
(sin²A+sin²B)sin(A-B)=(sin²A-sin²B)sin(A+B)
乘出来,整理一下就得到了
sin²Asin(A-B)+sin²Bsin(A-B)=sin²Asin(A+B)-sin²Bsin(A+B)
移项
sin²A*[sin(A+B)-sin(A-B)]=sin²B*[sin(A-B)+sin(A+B)]