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已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（1）求A；（2）若cosBcosC=-18，且△ABC的面积为3，求a．

分类: 作业答案 • 2021-12-18 17:05:19
问题描述：

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．
（1）求A；
（2）若cosBcosC=-

1
8
，且△ABC的面积为
 3
，求a．

答

（1）cos2A=3cos（B+C）+1，
∴2cos2A-1=-3cosA+1，求得cosA=

1
2
或-2（舍去），
∴A=
π
3
．
（2）∵cos（B+C）=-cosA=-
1
2
，
∴-
1
8
-sinBsinC=-
1
2
，
∴sinBsinC=
3
8
，
又S=
1
2
bcsinA，即
1
2
bc•
 3
2
=
 3
，
∴bc=4，
由正弦定理知
a2
sin2A
=
bc
sinBsinC
，
即
a2
3
4
=
4
3
8
，a=2
 2

答案解析：（1）利用二倍角公式对已知等式化简求得cosA的值，则A可求．
（2）先求得cos（B+C）的值，进而利用已知求得sinBsinC的值，最后利用正弦定理求得a．
考试点：正弦定理；二倍角的正弦；余弦定理．
知识点：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生分析和解决问题的能力．

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