设函数f(x)=Inx-px+1,证明:ln2^2/2^2+ln3^2/3^2+……+lnn^2/n^2

问题描述:

设函数f(x)=Inx-px+1,证明:ln2^2/2^2+ln3^2/3^2+……+lnn^2/n^2

证明:取p=1
f(x)=lnx-x+1,x>=1
f'(x)=(1-x)/x1
则f(x)在x>1上单调递减,又f(x)可在x=1处连续则
f(x)1,lnx-x+11
即lnx1
我们取n²(>1)替换上式x有
lnn²[lnn²]/n²得到[lnn²]/n²将(*)中的n依次从2取到n累加有
[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²=(2n²-n-1)/[2(n+1)]
即[ln2²]/2²+[ln3²]/3²+...+[lnn²]/n²