设3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,a1,a2,a3依次对应的特征向量设方阵B=A*-2A+3I,求B^-1的特征值及det(B^-1

因为3阶矩阵A的特征值为1,2,-3
所以 |A| = 1*2*(-3) = -6.
若λ是A的特征值,a是A的属于λ的特征向量,则 Aa = λa
两边左乘A*,得 λA*a = A*Aa = |A| a
所以当 λ≠0 时,A*a = (|A|/λ)a
所以 Ba = A*a -2Aa+3a = (|A|/λ-2λ+3)a
所以B的特征值为:|A|/λ-2λ+3.
再由A的特征值为1,2,-3,|A|=-6
得B的特征值为 -5,-4,11.
所以 |B| = (-5)*(-4)*11 = 220.若λ是A的特征值, a是A的属于λ的特征向量, 则 Aa = λa 两边左乘A*, 得 λA*a = A*Aa = |A| a所以当 λ≠0 时,A*a = (|A|/λ)a这几步不太懂。若λ是A的特征值, a是A的属于λ的特征向量, 则 Aa = λa ---这是定义两边左乘A*, 得 λA*a = A*Aa = |A| a--矩阵的乘法, 用到一个公式A*A = |A|E所以当 λ≠0 时,A*a = (|A|/λ)a--由上式显然得B的特征值为 -5, -4, 11.所以 |B| = (-5)*(-4)*11 = 220. 所以得B^-1的特征值为 -1/5, -1/4, 1/11.所以 |B^-1| = |B|^-1 = 1/220.