已知函数f（x）=ax+x-2/x+1（a＞1）． （1）判定函数f（x）在（-1，+∞）上的单调性，并给出证明； （2）证明：方程f（x）=0没有负数根．
问题描述：
已知函数f（x）=ax+
（a＞1）．x-2 x+1
（1）判定函数f（x）在（-1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（2）证明：方程f（x）=0没有负数根．
答
（1）函数在f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
证明如下：设x1，x2∈（-1，+∞），且x1＜x2，
∵a＞1，
∴ax1-ax2＜0，x1-x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）=（ax1+
）-（ax2+
x1-2
x1+1
）=（ax1-ax2）+[
x2-2
x2+1
-
(x1-2)(x2+1)
(x1+1)(x2+1)
]=（ax1-ax2）+
(x2-2)(x1+1)
(x1+1)(x2+1)
＜0，3(x1-x2)
(x1+1)(x2+1)
f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
证明：（2）假设f（x）=0 有负根 x0，且 x0≠-1，即 f（x0）=0．
根据f（0）=1+
=-1，可得 f（x0）＞f（0）①． 0-2 0+1
若-1＜x0＜0，由函数f（x）=ax+
在（-1，+∞）是增函数，可得f（x0）＜f（0）=-1，这与①矛盾．x-2 x+1
若x0＜-1，则 ax0＞0，x0-2＜0，x0+1＜0，∴f（x0）＞0，这也与①矛盾．
故假设不正确．
∴方程 ax+
=0 没有负根．x-2 x+1