已知椭圆C:y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结构成等腰直角三角形,直线l:x-y-b=0是抛物线x^2=4y的一条切线.(1)求椭圆c的方程(2)直线l交椭圆c于A,B两点,若点p满足向量OP+OA+OB=0(0为坐标原点)判断点P是否在椭圆C上,并说明理由 .
问题描述：
已知椭圆C:y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点连结构成等腰直角三角形,直线l:x-y-b=0是抛物线x^2=4y的一条切线.(1)求椭圆c的方程(2)直线l交椭圆c于A,B两点,若点p满足向量OP+OA+OB=0(0为坐标原点)判断点P是否在椭圆C上,并说明理由 .
答
(1) 焦点F1(-c, 0), F2(c, 0); 上顶点B2(0, b)
向量F1B2 = (c, b), 向量F2B = (-c, b)
F1B2⊥ F2B2, 向量F1B2•向量F2B2 = -c² + b² = 0, b = c
直线l: y = x - b
代入x² = 4y, x² = 4(x - b), x² - 4x + 4b = 0
∆ = 16 - 16b = 0
b = 1, c = 1
a² = b² + c² = 2
椭圆的方程: x²/2 + y² = 1
(2)
直线l: y = x - 1
代入椭圆的方程: x²/2 + (x - 1)² = 1
x(3x - 4) = 0
x = 0, B(0, -1)
x = 4/3, A(4/3, 1/3)
向量OA + 向量OB = (4/3, -2/3)
向量OP = -(向量OA + 向量OB) = (-4/3, 2/3), P(-4/3, 2/3)
代入椭圆的方程: (-4/3)²/2 + (2/3)² = 8/9 + 4/9 = 4/3 ≠ 1
P不在椭圆C上