答
（1）证明：∵点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1=BD
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=4，B1A1=AC=3，
得：四边形A1B1C1D1的面积为12；四边形A2B2C2D2的面积为6；
（3）由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为24×；
（4）方法一：由（1）得矩形A1B1C1D1的长为4，宽为3．
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x，宽为3x，则4x•3x＝×24，
解得x＝
∴4x＝1，3x＝
∴矩形A5B5C5D5的周长=2•(1+)＝
方法二：矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积
=（矩形A5B5C5D5的周长）2/（矩形A1B1C1D1的周长）2
即：12=（矩形A5B5C5D5的周长）2：142
∴矩形A5B5C5D5的周长=＝．
