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如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 _ ．

分类: 作业答案 • 2021-12-30 13:00:41
问题描述：

如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1各边中点得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 ___ ．

答

连接AC，BD．
∵四边形A1B1C1D1是顺次连接各中点得到的，
∴

BA1
BA
=
BB1
BC
=
A1B1
AC
=
1
2
，
故△BB1AI∽△BCA，相似比为
1
2
，面积比为
1
4
，即S△BB1AI=
1
4
S△BCA，
同理可得S△DD1C1=
1
4
S△DAC，即S△BB1AI+S△DD1C1=
1
4
（S△DAC+S△BCA）=
1
4
S四边形ABCD，
同理可得S△CC1B1+S△AA1D1=
1
4
S四边形ABCD，故
S△BB1AI+S△DD1C1+S△CC1B1+S△AA1D1=
1
2
S四边形ABCD，
则S四边形A1B1C1D1=
1
2
S四边形ABCD=
a2
2
，
同理可得第二个小四边形的面积为
1
2
×
a2
2
即
a2
22
．
第三个面积为
a2
23
，以此类推第n个四边形的面积为
a2
2n
．

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