已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q.(1)若四边形ABCD如图1,判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”,错误的在括号里填“×”).甲:顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;(  )乙:顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形.(  )(2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断.(3)若四边形ABCD如图2,请你判断(1)中的两个结论是否成立?

问题描述:

已知任意四边形ABCD,且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q.
(1)若四边形ABCD如图1,判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”,错误的在括号里填“×”).
甲:顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;(  )
乙:顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形.(  )
(2)请选择甲、乙中的一个,证明你对它的判断.
(3)若四边形ABCD如图2,请你判断(1)中的两个结论是否成立?

(1)甲√;乙√.
(2)证明:(1)中对甲的判断:
连接EF、FG、GH、HE.
∵E、F分别是AB、BC的中点,
∴EF∥AC,EF=

1
2
AC.
同理,得HG∥AC,HG=
1
2
AC,
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
(3)类似于(1)中的结论(甲、乙都成立)和证明.
答案解析:(1)根据三角形的中位线定理,得GH∥EF∥AC,GH=EF=
1
2
AC,所以得到的是平行四边形;
(2)根据三角形的中位线定理,得GP∥EQ∥AD,GP=EQ=
1
2
AD,所以得到的是平行四边形.
(3)类似于(1)中的结论甲、乙都成立.
考试点:三角形中位线定理;平行四边形的判定;矩形的判定.

知识点:主要考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理.
数量关系:三角形的中位线等于第三边一半.位置关系:三角形中位线平行于第三边.
顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形.