△ABC的底边BC=16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.
问题描述:
△ABC的底边BC=16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.
答
以BC所在的直线为X轴,BC中点为原点建立直角坐标系.
设G点坐标为(x,y),
∵重心分中线比为2:1
∴|GC|+|GB|=30×
=20,2 3
根据椭圆的定义可知G点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,且除去轴上两点.
因a=10,c=8,有b=6,故其方程为
+x2 100
=1(y≠0)y2 36
设A点坐标为(u,v)
则x=
,y=u 3
,把(3u,3v)代入G的方程得v 3
+u2 900
=1(v≠0)v2 324
故顶点A的轨迹为得
+x2 900
=1(y≠0)y2 324