证明:如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.

问题描述:

证明:如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.

证明:假设a、b、c全为奇数△=b2-4ac>=0有:
x=

−b±
b2−4ac
2a

可见存在有理根,即设
b24ac
为有理数n,
∴b2-4ac=n2
(b-n)(b+n)=4ac,
∵若n为偶数,(b-n)(b+n)=奇数×奇数=奇数≠4ac,
∴n只能为奇数,b-n为偶数b+n为偶数,
(b-n)(b+n)=偶数×偶数=2a×2c (a<=c),
b-n=2a,b+n=2c,
解得:b=a+c,
此时b=奇数+奇数=偶数  与原假设矛盾,
原假设不成立.
∴如果整系数二次方程ax2+bx+c=0存在有理根,那么a、b、c至少有一个是偶数得证明.