为什么a²=4b²时,4a²b²有最大值?
问题描述：
为什么a²=4b²时,4a²b²有最大值?
若a是1+2b与1-2b的等比中项,则2ab/丨a丨+2丨b丨的最大值是多少?
a²＝1-4b².a²+4b²＝1[常数].∴当a²＝4b²时,4a²b²有最大值1/4
|ab|最大值1/4,令2ab/丨a丨+2丨b丨＝k
则 k²＝4a²b²/（a²+4|ab|+4b²）＝4a²b²/（4|ab|+1）[硬除]
＝|ab|-1/4+1/（4|ab|+1）[配方]
＝（1/4）[√（|ab|+1）-1/√（4|ab|+1）]²
k＝±[√（|ab|+1）-1/√（4|ab|+1）]/2.当|ab|＝1/4（最大）时.
k有最大值√2/4 [最大-最小＝最大]
答
有基本不等式 a+b≥2√ab (a,b都是正数) 等号成立的条件为a=b
当a+b=m时(m为常数),m=a+b≥2√ab 则当a=b时,ab取得最大值m^2/4
在本题中 1=a²+4b²≥2√(a²*4b²)
所以当a²＝4b²时,4a²b²有最大值1/4