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已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax2+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，（1）求f（x）的解析式（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？

分类: 作业答案 • 2021-12-28 14:38:05

问题描述：

已知a、b为常数，且a≠0，y=f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，并使方程f（x）=x有等根，
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在实数m、n，（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？

答

（1）∵方程ax²+bx-x=0有等根，∴△=（b-1）²=0，得b=1．
∵f（2）=0，∴a＝−

1

2

，∴f（x）的解析式为f(X)＝−

1

2

(x−1)2+

1

2

；
（2）∵f(X)＝−

1

2

(x−1)2+

1

2

≤

1

2

，∴2n≤

1

2

，∴n≤

1

4

，∴f（x）在[m，n]上单调递增，
若满足题设条件的m，n存在，则

f(m)＝2m

f(n)＝2n

，∴

m＝−2

n＝0

即这时定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．