…如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AC=BC=2,∠ACB=90度
问题描述：
…如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AC=BC=2,∠ACB=90度
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AC=BC=2,∠ACB=90度
（1）求点B到平面AB1C的距离.
（2）求直线B1B与平面AB1C所成角的正切值.
（3）求以AB1C与AB1B为半平面的二面角的正切值.
答
（1）过点B做BD⊥B1C,交B1C于D
∠ACB=90度,所以AC⊥BC,直三棱柱的性质B1B⊥平面ABC,
所以B1B⊥AC
因此AC⊥平面BB1C
所以AC⊥BD
BD⊥B1C
所以BD⊥平面AB1C
BD即为所求距离
B1B=A1A=4,BC=2
B1C=√4x4+2x2=2√5
1/2xBDxB1C=1/2xBCxB1B
BD=2x4/（2√5）=4√5/5
（2）直线B1B是斜线,BD⊥平面AB1C
∠BB1C即直线B1B与平面AB1C所成角
tg∠BB1C=BC/B1B=2/4=1/2
(3)过点B做BE⊥AB1,交点为E,连接DE
因为BD⊥平面AB1C
所以BD⊥AB1
又因为BE⊥AB1
所以AB1⊥平面BED
所以AB1⊥ED
∠DEB即为所求二面角
AB=√(2x2+2x2）=2√2
AB1=√（8+16）=2√6
BC=2√2x4/（2√6）=4/√3
DE=√(16/3-16/5)=4√(2/15)
tg∠DCB=BD/DE=(4/√5)/(4√(2/15)=√6/2