设A为n阶方阵,证明存在一可逆矩阵B及一幂等矩阵C,使A等于BC

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:10:25

问题描述：

答

幂等矩阵定义是
C^2=E
从而C必可逆。
由此A必然可逆，而题目对A无任何限制，显然有问题

答

幂等矩阵定义是
C^2=C
设A的标准型为F=
E 0
0 0
即可设A=PFQ,其中P,Q可逆,A=PQQ^{-1}FQ,令B=PQ,B可逆,且令C=Q^{-1}FQ,由于F^2=F,所以C^2=C.