求极限(1+1/x)^(x^2)/(e^x)
问题描述：
求极限(1+1/x)^(x^2)/(e^x)
几何画板画出来极限应该是1/e,
答
是 lim (x→∞) [ (1 +1/x)^(x^2) ] /(e^x)
= = = = = = = = =
令 y =[ (1 +1/x)^(x^2) ] /(e^x),
则 ln y =(x^2) ln (1 +1/x) -x.
令 t =1/x,
则 当 x→∞ 时,t→0.
且 x =1/t.
所以 lim (x→∞) ln y
=lim (t→0) ln (1+t) /(t^2) -1/t
=lim (t→0) [ ln (1+t) -t ] /(t^2).
由洛必达法则,
lim (t→0) [ ln (1+t) -t ] /(t^2)
=lim (t→0) [ 1/(1+t) -1 ] /(2t)
=( -1/2) lim (t→0) [ 1 /(1+t) ]
= -1/2.
所以 lim (x→∞) ln y = -1/2.
所以 原式= lim (x→∞) y
= e^(-1/2).
= = = = = = = = =
以上计算可能有误.
求 y=f(x)^g(x) 的极限,
-> 求 ln y .
-> 用 t=1/x,把 ∞ -∞ 型化为0/0型.
-> 洛必达法则.
-> 求出 ln y 的极限.
-> 求出 y的极限.