已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.
问题描述：
已知三角形ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acotA+bcotB,求内角C.
由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=R
∴acotA+bcotB=R（cosA+cosB）
a+b=RsinA+RsinB
∴cosA+cosB=sinA+sinB
cosA-sinA=sinB-cosB
(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2
1-2sinAcosA=1-2sinBcosB
2sinBcosB=2sinAcosA
sin2B=sin2A
即A=B或A=π/2-B
算到这里我都是会的,只是有一个疑问.
若A=π/2-B,则∠C=90
但是若A=B的话,sinA+sinB未必等于cosA+cosB啊.
除非A=B=45°.但是方程解出的答案不应该一定符合原方程吗?
这个地方怎么也转不过来弯了.
答
从cosA-sinA=sinB-cosB
到(cosA-sinA)^2=(sinB-cosB)^2产生增根.
用和差化积：
sinA+sinB=2sin[(A+B)/2] *cos[(A-B)/2]
cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
得tan[(A+B)/2]=1或cos[(A-B)/2]=0
即A+B=π/2或A-B=π(不合题意,舍去).
∴C=π/2.
另外：正弦定理：
a/sinA=b/sinB=2R