求微分方程x*dy/dx+x+sin(x+y)=0的通解
问题描述：
求微分方程x*dy/dx+x+sin(x+y)=0的通解
答
不难看出,方程中y‘+1是y+x对x的导函数,那么可以以此为突破口进行求解.
设y+x=g,g也是x的函数
原方程变为x*g'+sing=0
即dg/sing=-dx/x,对两边同时做不定积分
-dx/x的不定积分,结果为-lnx
积分(dg/sing)=积分(sing*dg/sing^2)=积分(-dcosg/(1-cosg^2))=1/2*(ln(1+cosg)/(1-cosg))
于是方程变为1/2*(ln(1+cosg)/(1-cosg))=-lnx+C,C为不定积分常数
带入y+x=g,则可以求出原函数为1/2*(ln(1+cos(y+x))/(1-cos(y+x)))=-lnx+C,可以化简