如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线l经过点A,BD⊥l于D,CE⊥了于D,CE⊥l于E.
如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直线l经过点A,BD⊥l于D,CE⊥了于D,CE⊥l于E.
（1）若M为BC的中点,连接MD、ME,试判断△MDE的形状并证明.
（2）在（1）的条件下,设MD与AB交于点P,ME于AC交于点Q,连接PQ,若BP＝4,CQ＝10,试求△MPQ的面积
第一个问题：
∵∠BAC＝90°,AB＝AC,∴∠ABC＝∠ACB＝45°.
由BD⊥AD、AM⊥BM,得：A、D、B、M共圆,∴∠ADM＝∠ABC＝45°.
由CE⊥AE、AM⊥CM,得：A、E、C、M共圆,∴∠AEM＝∠ACB＝45°.
由∠ADM＝45°、∠AEM＝45°,结合三角形内角和定理,得：∠DME＝90°.
∴△MDE是以DE为底边的等腰直角三角形.
第二个问题：
∵M是等腰直角三角形ABC中斜边BC的中点,∴∠BAM＝∠CAM＝45°.
∵∠PAQ＝90°、∠PMQ＝90°,∴A、P、Q、M共圆,又∠PAM＝∠QAM,∴PM＝QM.
由余弦定理,有：
PM^2＝PB^2＋BM^2－2PB×BMcos∠ABC,QM^2＝CQ^2＋CM^2－2CQ×CMcos∠ACB.
∴PB^2＋BM^2－2PB×BMcos∠ABC＝CQ^2＋CM^2－2CQ×CMcos∠ACB
又BM＝CM,∴PB^2－2PB×BMcos∠ABC＝CQ^2－2CQ×BMcos∠ACB
∴16－2×4BMcos45°＝100－2×10BMcos45°, ∴4－2BM/√2＝25－5BM/√2,
∴3BM/√2＝21,∴BM＝7√2.
∴PM^2＝PB^2＋BM^2－2PB×BMcos∠ABC＝16＋49×2－2×4×7√2cos45°＝58.
于是：△MPQ的面积＝PM×QM/2＝PM^2/2＝58/2＝29.