若不等式x2108+y24≥xy3k对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取 ___ ．
问题描述：
若不等式
+x2 108
≥y2 4
对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取 ___ ．
xy
3k
答
不等式
+x2 108
≥y2 4
两边同除以xy得：xy 3k
+x 108y
≥y 4x
1 3k
∵不等式
+x2 108
≥y2 4
对于任意正实数x，y总成立xy 3k
∴
+x 108y
≥y 4x
对于任意正实数x，y总成立1 3k
∴
≤21 3k
=
xy 108y4x
1
108
∴3k≥
108
∴k≥
+1 2
log
6
3
+1 2
log
3
6
又∵总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），
∴[
+1 2
，+∞)⊆[m，+∞），
log
6
3
∴正整数m只能取 1或2
故答案为：1或2
答案解析：将不等式
+x2 108
≥y2 4
两边同除以xy转化为xy 3k
+x 108y
≥y 4x
，左边用基本不等式，求其最小值，再由“不等式1 3k
+x2 108
≥y2 4
对于任意正实数x，y总成立”得到xy 3k
≤21 3k
＝
xy 108y4x
求得k的范围，最后由“成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞）”，求得正整数m的取值．1
108
考试点：其他不等式的解法．
知识点：本题主要考查不等式恒成立，往往转化为求代数式的最值问题，一般有两种方法，一是基本不等式，二是函数法．