证明:设A是一个n阶方阵,如果对任一个n维向量x,都有Ax=0,那么A=0

问题描述:

证明:设A是一个n阶方阵,如果对任一个n维向量x,都有Ax=0,那么A=0
如题

证法一 由于有关系式
(A的秩)+(Ax=0的解空间维数)=n
现在依照题意,Ax=0的解空间是整个空间,即
(Ax=0的解空间维数)=n
所以A的秩是零,因此A=0
证法二 (反证)设A≠0,则A的某个元素a(i,j)≠0,令x是第j个分量为1、其余元素为零的n元列,则n元列Ax的第i个分量为a(i,j)≠0,与题设矛盾.