设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则（ ） A.当f（x）是奇函数时，F（x）必是偶函数 B.当f（x）是偶函数时，F（x）必是奇函数 C.当f（x）是周期函数时，F（x）必是周期函数
问题描述：
设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则（ ）
A. 当f（x）是奇函数时，F（x）必是偶函数
B. 当f（x）是偶函数时，F（x）必是奇函数
C. 当f（x）是周期函数时，F（x）必是周期函数
D. 当f（x）是单调增函数时，F（x）必是单调增函数
答
（1）选项B，设f（x）=x2，它是偶函数，f（x）的原函数是F（x）=
x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．1 3
（2）选项C，设f（x）=sin2x，但它的原函数F（x）=
x−1 2
sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．1 4
（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=
x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．1 2
（4）选项A，由题意设F(x)
f(t)dt+C（C为任意常数），则F(−x)
＝∫
x0
f(t)dt+C
＝∫
−x0
-令u＝−t .
f(−u)du+C，
∫
x0
∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）
∴F（-x）=
f(u)du+C＝F(x)，选项A正确．
∫
x0
故选：A．