已知函数f（x）=3x，且f-1（18）=a+2，g（x）=3ax-4x的定义域为[0，1]． （1）求g（x）的解析式； （2）求g（x）的单调区间，确定其单调性并用定义证明； （3）求g（x）的值域．
问题描述：
已知函数f（x）=3x，且f-1（18）=a+2，g（x）=3ax-4x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间，确定其单调性并用定义证明；
（3）求g（x）的值域．
答
（1）∵f（x）=3x且f（a+2）=3a+2=18，
∴3a=2．
∴g（x）=3ax-4x=（3a）x-4x，
∴g（x）=2x-4x．
（2）∵函数g（x）的定义域为[0，1]，令t=2x，
∵x∈[0，1]，函数t在区间[0，1]上单调递增，
且t∈[1，2]，则g（x）=t-t2在[1，2]上单调递减，
∴g（x）在[0，1]上单调递减．
证明如下：设x1，x2∈[0，1]且x1＜x2，则
g（x2）-g（x1）
=2x2−4x2−2x1+4x1=(2x2−2x1)(1−2x2−2x1)
∵0≤x1＜x2≤1，
∴2x2＞2x1，
且1≤2x1＜2，1＜2x2≤2．
∴2＜2x1+2x2＜4．
∴−3＜1−2x1−2x2＜−1，可知(2x2−2x1)•(1−2x2−2x1)＜0．
∴g（x2）＜g（x1）．
∴函数g（x）在[0，1]上为减函数．
（3）∵g（x）在[0，1]上为减函数，
又x∈[0，1]，
故有g（1）≤g（x）≤g（0）．
∵g（1）=-2，g（0）=0，
∴函数g（x）的值域为[-2，0]．