已知函数f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x 若函数f(x)在区间(π/12,π/6]上是增函数,求t的范围.
问题描述：
已知函数f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x 若函数f(x)在区间(π/12,π/6]上是增函数,求t的范围.
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已知函数f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x 若函数f(x)在区间(π/12,π/6]上是增函数,求t的取值范围.
答
f(x)=cos²x+2tsinxcosx-sin²x
=(cos²x-sin²x)+t(2sinxcosx)
=cos2x+tsin2x,
根据题意,
f‘(x)=-2sin2x+2tcos2x≥0在区间(π/12,π/6]上恒成立,
即t≥tan2x在区间(π/12,π/6]上恒成立,
由于在区间(π/12,π/6]上,√3/3＜tan2x≤√3,
所以t≥√3.因为在某些特殊的点，它能够满足f'(x)=0而不影响函数的单调性，比如g(x)=x^3，它在R上是递增的，但是g'(0)=0，它并不影响到函数的递增性质。还有：t=√3是能够满足t≥tan2x(√3/3＜tan2x≤√3)这个大前提的。