矩阵A= -2 0 -4 1 2 1 1 0 3能否对角化?若可以求出对角阵A和可逆矩阵P
问题描述：
矩阵A= -2 0 -4 1 2 1 1 0 3能否对角化?若可以求出对角阵A和可逆矩阵P
答
可以对角化.
有n个线性无关特征向量
也即P^-1AP=D
>> A=[-2 0 -4;1 2 1;1 0 3]
A =
-2 0 -4
1 2 1
1 0 3
>> [P,D] = eig(A)
P =
0 -0.9428 0.7071
1.0000 0.2357 0
0 0.2357 -0.7071
D =
2 0 0
0 -1 0
0 0 2矩阵有特征值2 -1
计算特征向量
特征值为2时，有两个线性无关的向量。
因此可对角化
P为特征向量的作为纵列的矩阵代入即可
(0,1,0)^T
(1,0,-1)^Tλ1=λ2=2,λ3=-1
分别代入λE-A 中即可求得特征向量
λ1=λ2=2，化成
4 0 4
-1 0-1 ----->
-1 0-1
1 0 1
0 0 0
0 0 0
得到对应的特征向量(0,1,0)^T (1,0,-1)^T
同理λ3=-1
1 0 4
-1-3-1 ----->
-1 0-4
1 0 4
0-3 3
0 0 0
得到对应的特征向量(-4,1,1)^T
将特征向量作为列向量联立即可
上面的回答是标准化后的结果，都是可以的