设f(x),g(x),h(x)都是多项式,h(x)的首项系数为1证明：(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)

设(f(x),g(x))=q(x)
则f=q*f1,g=q*g1,且(f1,g1)=1
则存在u(x),v(x),使得：
f1*u+g1*v=1
同时乘以q(x)h(x)
则f1*q*h*u+g1*q*h*v=q*h
fh*u+gh*v=q*h
又有：q*h | f*h,q*h | g*h
所以：(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)
有不懂欢迎追问谢谢~~不过(f1,g1)=1这个是怎么来的呢？从理论上说，f(x)必定可以分解为q(x)与f1(x)的乘积同理，g(x)=q(x)*g1(x)又有q(x)=(f(x),g(x))，那么f1(x)必定g1(x)互素可以用反证法来证明：假设f1(x)与g1(x)不互素，则必存在q1(x)=(f1,g1) (q1不为0次多项式)存在u1,v1，使得：f1*u1+g1*v1=q1同时乘以q：q*f1*u1+q*g1*v1=q*q1f*u1+g*v1=q*q1且q*q1 | f, q*q1 | g因此(f,g)=q*q1与(f,g)=q矛盾在上面那一题中，我还漏了“h(x)的首项系数为1”应加在“所以：(f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)”之前有不懂欢迎追问http://zhidao.baidu.com/question/442758667.html#reply-box-1077617459http://zhidao.baidu.com/question/442743526.html?quesup2&oldq=1这边还有两个问题可以帮忙吗？非常感谢~~