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已知函数f(x)＝ax+b/1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(1/2)＝2/5． （1）试求出函数f（x）的解析式； （2）证明函数在定义域内是单调增函数．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 11:01:08
问题描述：

已知函数f(x)＝

ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
1
2
)＝
2
5
．
（1）试求出函数f（x）的解析式；
（2）证明函数在定义域内是单调增函数．

答

（1）∵函数f(x)＝

ax+b
1+x2
是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0
又∵f(
1
2
)＝
2
5
，∴
a
2
1+
1
4
=
2
5
，解得a=1
∴f(x)＝
x
1+x2
．
（2）任取任取两个数x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x1−x2)(1−x1•x2)
(1+x12)(1+x22)
＜0
因为x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1+x12＞0，1+x22＞0，1-x1•x2＞0
则f（x1）＜f（x2）
故函数f(x)＝
ax+b
1+x2
在（-1，1）上单调递增

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