微积分题：设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值...
问题描述：
微积分题：设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值...
微积分题：设a>0,如果极限 lim (x^p)*(a^(1/x)-a^(1/(x+1))) 存在,试确定p的值,并求此极限
x趋向于正无穷
答
a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^ξ * [ 1/x - 1/(x+1) ] ξ ∈[1/(x+1),1/x] Lagrange 中值定理
= a^ξ * [ 1/x(x+1)],a^ξ -> 1
lim(x->+∞) a^ξ [ x^p / (x(x+1)] 存在
=》 p = 2我在《微积分教程》极限 后面的习题里看到的，还没学到拉各朗日定理……更正： a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^ξ * lna * [ 1/x - 1/(x+1) ] 或者如下：a^(1/x) - a^(1/(x+1) = a^(1/(x+1)) * [ a^1/(x(x+1)) - 1 ]a^(1/(x+1))-> 1, [ a^1/(x(x+1)) - 1 ] 利用等价无穷小代换，a^t - 1 ~t * lna [ a^ 1/(x(x+1)) - 1 ]~ lna *[1/(x(x+1))]......=> p ≤ 2 时，该极限存在。