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已知x、y是实数且满足x2+xy+y2-2=0，设M=x2-xy+y2，则M的取值范围是_．

分类: 作业答案 • 2021-12-28 10:56:05
问题描述：

已知x、y是实数且满足x2+xy+y2-2=0，设M=x2-xy+y2，则M的取值范围是______．

答

由x2+xy+y2-2=0得：x2+2xy+y2-2-xy=0，
即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥-2；
由x2+xy+y2-2=0得：x2-2xy+y2-2+3xy=0，
即（x-y）2=2-3xy≥0，所以xy≤

2
3
，
∴-2≤xy≤
2
3
，
∴不等式两边同时乘以-2得：
（-2）×（-2）≥-2xy≥
2
3
×（-2），即-
4
3
≤-2xy≤4，
两边同时加上2得：-
4
3
+2≤2-2xy≤4+2，即
2
3
≤2-2xy≤6，
∵x2+xy+y2-2=0，∴x2+y2=2-xy，
∴M=x2-xy+y2=2-2xy，
则M的取值范围是
2
3
≤M≤6．
故答案为：
2
3
≤M≤6

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