20、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线C:y^2=2px的准线方程为x= -1,M(1,-3),N(5,1),向量NP=t向量NM若动点P满足,且点P的轨迹与抛物线C交于A,B两点.

问题描述:

20、在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知抛物线C:y^2=2px的准线方程为x= -1,M(1,-3),N(5,1),向量NP=t向量NM若动点P满足,且点P的轨迹与抛物线C交于A,B两点.
(1)求证:向量OA⊥向量OB ;
(2)在x轴上是否存在一点Q(m,0)(m≠0),使得过点Q的直线 交抛物线C于D,E两点,且以线段DE为直径的圆都过原点?若存在,求出以线段DE为直径的圆的圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.

动点P满足?
请检查题目与前面换一下若动点P满足向量NP=t向量NM(1)抛物线C:y^2=2px的准线方程为x= -1,∴p=2,y^2=4x,①M(1,-3),N(5,1),向量NP=t向量NM,设P(x,y),则(x-5,y-1)=t(-4,-4),∴x-5=y-1,x=y+4,②把②代入①,y^2-4y-16=0,y1=2-2√5,y2=2+2√5,代入②,x1=6-2√5,x2=6+2√5,向量OA*OB=x1x2+y1y2=16-16=0,∴OA⊥OB.(2)设DE:x=ny+m,③代入①,y^2-4ny-4m=0,设D(x3,y3),E(x4,y4),则y3+y4=4n,y3y4=-4m,由③,x3x4=(ny3+m)(ny4+m)=n^2y3y4+mn(y3+y4)+m^2,以线段DE为直径的圆都过原点,OD*OE=x3x4+y3y4=(n^2+1)y3y4+mn(y3+y4)+m^2=-4m(n^2+1)+4mn^2+m^2=m(m-4)=0,m≠0,∴m=4.以线段DE为直径的圆的圆心:y=(y3+y4)/2=2n,代入③,x=2n^2+4,∴y^2=2(x-4)是以线段DE为直径的圆的圆心的轨迹方程.